积分算子奇异值在 Sobolev 范数下的最优衰减率

积分核的正则性迫使相关积分算子的奇异值具有衰减率。对于定义在区间 $(a,b) \times (a,b)$ 上（其中 $(a,b)$ 为区间）的对称算子核，这是众所周知的。长期以来，许多作者详细研究了这一情形。球面上的情形也已解决。少数作者考察了高维情形或流形情形。通常，这些作者给出了奇异值在 $l^p$ 范数（$p \geq 1$）下，或在因正则性导致更快衰减时的 $l^p$ 拟范数（$0 < p < 1$）下的衰减估计。借助由 Fourier 级数得到的周期核，用该方法直接表明其估计是最优的。我们推导这些奇异值衰减估计的新方法使用了 Weyl 关于 Neumann 特征值渐近公式，并将其与适当定义的逆 Laplacian 相结合。我们得到形如 $n^\alpha$ 的衰减估计，其中第 $n$ 个奇异值的 $\alpha$ 依赖于维数以及核的 Sobolev 正则性。由于我们关注正则核情形下的最优估计，我们不使用常数乘以 $n^\alpha$ 的上界，而是利用通过微分得到的核的奇异值。虽然在 \cite{birman1977estimates, delgado2021schatten} 中通过简单考虑周期 Fourier 级数证明了 $l^p$ 估计的最优性，但这些 Fourier 级数对我们的估计不能给出尖锐结果。相反，我们使用特定于所关注区域的 Laplacian 的 Neumann 特征函数级数来证明我们的衰减估计是最优的。最后，我们涵盖了实解析核的情形，并在该情形下也能导出最优估计。