Bombieri 与 Tammi 猜想中的最优控制

设 $S$ 为单位圆盘 $U=\{z: |z|<1\}$ 中正规化 $f(z)=z+a_2z^2+...$ 的单叶正则函数通常类，并设 $S^M$ 为其通过限制 $|f(z)|<M$（$M\geq 1$）于 $U$ 中而定义的子类。我们考虑两个经典问题：类 $S$ 的 Bombieri 系数问题与 $S^M$ 中函数第四系数的精确估计。利用 Löwner 参数表示与最优控制方法，我们给出精确的初始 Bombieri 数，并导出锐常数 $M_0$，使得对所有 $M\geq M_0$，Pick 函数给出 $|a_4|$ 的局部极大值。文末给出数值逼近。