统计逆问题中早停的最优自适应

对于线性逆问题 $Y=\mathsf{A}\mu+\xi$，经典方法是通过迭代正则化方法 $(\widehat \mu^{(m)}, m=0,1,\ldots)$ 恢复未知信号 $\mu$，并利用基于某种停止规则（通常依据偏差原理）的数据依赖迭代 $\tau$ 停止，从而控制弱（或预测）平方误差 $\|\mathsf{A}(\widehat \mu^{(\tau)}-\mu)\|^2$。在带有随机噪声 $\xi$ 的统计估计背景下，我们研究了强平方误差 $E[\|\hat \mu^{(\tau)}-\mu\|^2]$ 中的预言机自适应（即与最佳可能停止迭代相比）。针对一般谱正则化方法，建立了基于残差的停止规则的预言机自适应界。证明使用了从弱预测误差到强 $L^2$-误差的偏差与方差转移技术，以及凸性论证和随机部分的集中界。进一步详细研究了Landweber方法的自适应早停并进行了数值说明。