几何中的集合间运算

本研究探讨了集合上及集合间运算的基本特征，重点关注 $n$ 维欧几里得空间 $\R^n$ 中的紧凸集和星形集（关于原点星形的紧集）。例如，证明了若 $n\ge 2$，除三个平凡例外情况外，原点对称紧凸集之间的运算在 Hausdorff 度量下连续、GL(n) 协变且满足结合律，当且仅当该运算是某种 $1\le p\le\infty$ 的 $L_p$ 加法。还证明了若 $n\ge 2$，紧凸集之间的运算 * 在 Hausdorff 度量下连续、GL(n) 协变并具有单位元性质（即对所有紧凸集 $K$，有 $K*\{o\}=K=\{o\}*K$，其中 $o$ 表示原点），当且仅当该运算是 Minkowski 加法。获得了关于星形集之间运算的一些类似结果。一种称为 $M$-加法的运算被推广并首次得到系统研究。建立了用 $M$-加法刻画紧凸集之间连续且 GL(n)-协变运算的几何 - 解析公式。引入了“多项式体积”一词，用于描述紧凸集或星形集之间运算 * 的性质，即 $rK*sL$（$r,s\ge 0$）的体积是关于变量 $r$ 和 $s$ 的多项式。证明了若 $n\ge 2$，除三个平凡例外情况外，原点对称紧凸集之间的运算在 Hausdorff 度量下连续、GL(n) 协变、满足结合律且具有多项式体积，当且仅当该运算是 Minkowski 加法。