在线钢笔测试

我们研究一个“钢笔测试”问题：给定 $n$ 支墨水余量未知分别为 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 的钢笔，我们希望选出其中墨水剩余量最大的一支。挑战在于我们无法直接获知每个 $X_i$，只能书写第 $i$ 支钢笔直至使用掉一定量墨水或钢笔耗尽。两种情况下，该测试都会减少钢笔中的剩余墨水，从而降低选中它的效用。尽管信息严重匮乏，我们证明仍可将效用近似最大化至 $O(\log n)$ 因子以内。形式上，我们考虑两种不同设定：“先知”设定，其中每个 $X_i$ 独立地从某分布 $\mathcal{D}_i$ 抽取；“秘书”设定，其中 $(X_i)_{i=1}^n$ 是任意 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 的一个随机排列。我们在两种设定下均推导出了最优竞争比（至常数因子）。我们的算法出奇地鲁棒：(1) 在先知设定中，我们仅需来自每个 $\mathcal{D}_i$ 的一个样本，而非分布的完整描述；(2) 在秘书设定中，若给定最大 $a_i$ 的估计值，该算法在任意排列下也成功。我们的技术包括针对长度未知序列的非平凡在线采样方案，以及一种困难的、非均匀的排列分布构造。二者均可能具有独立意义。我们还指出了一些直接的开放问题并讨论了若干未来研究方向。