超越最坏情况的在线独立集：秘书、先知与周期

我们研究了针对具有有界归纳独立数（inductive independence number）的图类（例如区间图和圆盘图）的最大（加权）独立集的在线算法，这些图类在任务调度和频谱分配等领域有广泛应用。在线设定中，假设未知图的节点随时间逐个到达。在线算法必须决定是否将到达的节点纳入独立集。不幸的是，这一自然且具有实际意义的在线问题无法在经典的竞争分析框架下进行有意义的研究，因为在最坏情况输入序列上的竞争比下界为 $\Omega(n)$。鉴于最坏情况分析毫无意义，我们在随机分析框架下研究在线独立集问题。我们不专注于特定的随机输入模型，而是提出了一种通用的采样方法，使我们能够设计出针对多种输入模型具有性能保证的在线算法。特别是，我们的分析涵盖了诸如秘书模型（adversarial graph 以随机顺序呈现）和先知不等式模型（随机生成的图以 adversarial 顺序呈现）等随机输入模型。因此，我们的采样方法 bridging 了性质截然不同的随机输入模型。此外，我们证明了该方法可应用于具有实际动机的准入控制场景。我们的采样方法产生了一个针对最大独立集的在线算法，对于归纳独立数为 $\rho$ 的图类，在上述所有随机输入模型下的竞争比均为 $O(\rho^2)$。该方法可扩展至最大加权独立集问题，仅在竞争比上损失 $O(\log n)$ 因子，其中 $n$ 表示节点（期望）数量。