在线矩阵补全与在线鲁棒主成分分析

本工作研究两个相互关联的问题——在线鲁棒主成分分析(RPCA)与在线低秩矩阵补全(MC)。在Candès等人近期工作中，RPCA被定义为从低秩矩阵(真实数据) $L:=[\ell_1, \ell_2, \dots \ell_{t}, \dots , \ell_{t_{\max}}]$ 与稀疏矩阵(离群点) $S:=[x_1, x_2, \dots x_{t}, \dots, x_{t_{\max}}]$ 的和 $M:=L+S$ 中分离两者的问题。我们的工作采用此RPCA定义。这两个问题的一个重要应用出现在视频分析中，试图分离稀疏前景(例如运动物体)与缓慢变化的背景。尽管近期在开发和解析批量RPCA与批量MC算法方面有大量工作，但在线问题在很大程度上尚未解决。本工作中，我们对自己近期提出的算法进行实用化改进，以求解在线RPCA与在线MC问题。本工作的主要贡献是在温和假设下获得了所提算法的正确性结果。我们需要的假设为：(a) 可获得初始子空间的良好估计(在视频监控中利用仅含背景的短帧序列易得)；(b) $\ell_t$ 服从“缓慢子空间变化”假设；(c) 生成 $\ell_t$ 的子空间基向量是稠密的(非稀疏)；(d) $x_t$ 的支撑集至少每隔一段时间变化至少一定量；以及(e) 算法参数被恰当设置。