无损扩张图中的在线匹配

Bauwens与Zimand [BZ 2019]已表明无损扩张图具有有趣的在线匹配性质。该结果以隐式形式出现于[BZ 2019]。我们给出该性质的一个显式版本，可直接用于典型应用，以自包含方式证明并厘清某些参数的作用，并给出两个应用。一个$(K, \epsilon)$无损扩张图是一个二部图，使得二部划分左侧大小不超过$K$的任意子集$S$至少有$(1-\epsilon) D |S|$个邻居，其中$D$为左度。主要结果是任意此类图经轻微修改后，容许规模至$K$的$(1-O(\epsilon)D, 1)$在线匹配。这意味着对于左侧节点的任意序列$S=(x_1, \ldots, x_K)$，可以在线方式将$S$中每个节点$x_i$分配给由其所占$(1-O(\epsilon))$比例的邻居组成的集合$A_i$，使得集合$A_1, \ldots, A_K$两两不交。“在线方式”指对每个$i$，分配给$x_i$的节点集仅依赖于分配给$x_1, \ldots, x_{i-1}$的节点。第一个应用涉及表示集合$S$的存储方案，使得成员查询“x $\in$ S？”可通过读取单比特以概率方式回答。以往所有单探测存储方案均针对静态集合$S$。我们表明无损扩张图可用于构造动态集合的单探测存储方案，即元素可插入与删除而不影响其他元素表示的集合。第二个应用关于非阻塞网络。