具有摊销 $O(\log^2 n)$ 次替换的在线二分图匹配

在带替换的在线二分图匹配问题中，二分划一侧的所有顶点是给定的，而另一侧的顶点连同其所有关联边逐个到达。目标是在最小化匹配变更次数（替换）的同时维持最大匹配。我们表明，总是从新插入顶点选取最短增广路径的贪心算法（称为 SAP 协议）每次插入最多使用摊销 $O(\log^2 n)$ 次替换，其中 $n$ 是插入的顶点总数。这是首次针对\emph{任何}替换策略实现多对数数量级替换的分析，几乎达到了 $\Omega(\log n)$ 的下界。此前已知的最佳策略实现了摊销 $O(\sqrt{n})$ 次替换 [Bosek, Leniowski, Sankowski, Zych, FOCS 2014]。特别是对于 SAP 协议，除了在特殊情况下，除了平凡的 $O(n)$ 界外，没有更好的结果已知。我们的分析立即意味着对于容量分配问题也有相同的 $O(\log^2 n)$ 重分配上界，其中二分划静态侧的每个顶点初始化为具有服务一定数量顶点的容量。我们还分析了最小化最大服务器负载的问题。我们表明，如果最终图的最大服务器负载为 $L$，则 SAP 协议进行摊销 $O( \min\{L \log^2 n , \sqrt{n}\log n\})$ 次重分配。我们还表明这是接近紧致的，因为可能需要 $\Omega(\min\{L, \sqrt{n}\})$ 次重分配。