稀薄囚禁玻色气体的维行为

近期的实验与理论工作表明，在某些条件下，囚禁的低密度玻色气体表现得如同多年前由 Lieb 和 Liniger 求解的一维 delta 函数玻色气体。这是一种本质上的量子力学现象，因为并不需要如可能设想的那样使陷阱宽度达到原子尺度，而只需使陷阱宽度满足横向运动的能隙远大于沿陷阱运动的相关能量即可。迄今为止，理论论证基于变分-微扰思想或数值研究。相反，本文就基态能量和粒子密度而言，给出了维行为的严格证明。其中涉及四个参数：粒子数 $N$、陷阱的横向与纵向尺寸 $r$ 和 $L$，以及相互作用势的散射长度 $a$。我们的主要结果是：若 $r/L\to 0$ 且 $N\to\infty$，则基态能量和密度可通过最小化一个一维密度泛函获得，该泛函包含耦合常数 $\sim a/r^2$ 的 Lieb-Liniger 能量密度。