关于阿诺德舌的宽度

设$F: \mathbb R \to \mathbb R$是一个实解析递增微分同胚，且$F-{\rm Id}$是1周期的。考虑平移映射族$(F_t :\mathbb R \to \mathbb R)_{t\in \mathbbR}$，定义为$F_t(x)=F(x)+t$。令${\rm Trans}(F_t)$为$F_t$的平移数，定义为：$${\rm Trans}(F_t) := \lim_{n\to +\infty}\frac{F_t^{\circ n}-{\rm Id}}{n}.$$假设存在一个与$F$相关的模为$2\tau$的Herman环，并令$p_n/q_n$为${\rm Trans}(F)$的第$n$个渐近分数。记$\ell_{\theta}$为区间$\{t\in \mathbb R | {\rm Trans}(F_t)=\theta\}$的长度，我们证明序列$(\ell_{p_n/q_n})$关于$q_n$指数衰减。更精确地，$$\limsup_{n \to \infty} \frac{1}{q_n} \log {\ell_{p_n/q_n}} \le -2\pi \tau .$$