关于 Ext 与 Tor 的消失

本文包含两个关于 (co)homology functors 自然变换消失的定理。精确地说，设 $R$ 为右 Noether 环，$f: M \to N$ 为 finitely generated 右 $R$-模之间的态射。第一个定理证明了自然变换 $\Ext^1(f, -)$ 在 finitely generated 右 $R$-模范畴内消失当且仅当 $\Tor_1(f, -)$ 在 finitely generated 左 $R$-模范畴内消失。作为此结果的推论，我们建立了 $\Ext^1(f, -)$ 为 epic 当且仅当 $\Tor_1(f, -)$ 为 monic。第二个定理表明，如果 $R$ 为左右 Noether 且 $M, N$ 为 Gorenstein 投影，则自然变换 $\Tor_1(f, -)$、$\Ext^1(-, f)$ 和 $\Ext^1(f, -)$ 在 finitely generated Gorenstein 投影模范畴内同时消失。这尤其地表明在 Gorenstein 投影模上，幽灵态射和 $\Ext$-幽灵态射的概念相吻合。此外，证明了如果 $R$ 为 $n$-Gorenstein，则对于任意整数 $i > n$，自然变换 $\Ext^{i}(f, -)$、$\Ext^{i}(-, f)$ 和 $\Tor_{i}(f, -)$ 在 finitely generated 模上同时消失。作为一个有趣的推论，我们表明在相同假设下，$\Ext^i(-, f)$ 为 epic（即 monic）当且仅当 $\Ext^i(f, -)$ 为 monic（即 epic）当且仅当 $\Tor_i(f, -)$ 为 epic（即 monic）。