在线最大完工时间最小化中作业迁移的价值

同型并行机上的最大完工时间最小化是一个经典的调度问题。我们考虑如下在线场景:需要将 $n$ 个作业组成的序列以不可抢占方式调度到 $m$ 台机器上,以最小化任意作业的最大完工时间。确定性在线算法所能达到的最佳竞争比位于区间 $[1.88,1.9201]$ 内。目前在一般的 $m$ 下,尚不知道任何具有更小竞争比的随机化在线算法。在本文中,我们探讨作业迁移的能力,即允许在线调度器执行有限次数的作业重分配。迁移是理论与实践中用于并行处理环境中负载均衡的常用技术。作为主要结果,我们确定了确定性在线算法所能达到的性能。我们针对任意 $m\geq 2$ 给出了一种 $\alpha_m$-竞争算法,其中 $\alpha_m$ 是某个方程的解。当 $m=2$ 时,$\alpha_2=4/3$,且 $\lim_{m\rightarrow \infty}\alpha_m=W_{-1}(-1/e^2)/(1+W_{-1}(-1/e^2))\approx 1.4659$。其中 $W_{-1}$ 是 Lambert $W$ 函数的低阶分支。当 $m\geq 11$ 时,该算法至多使用 $7m$ 次迁移操作;对于较小的 $m$,可能需要 $8m$ 至 $10m$ 次操作。我们通过一个匹配的的下界来补充该结果:任何使用 $o(n)$ 次作业迁移的在线算法都无法实现小于 $\alpha_m$ 的竞争比。最后,我们在性能与迁移次数之间进行权衡。我们给出一族算法,对任意 $5/3\leq c\leq 2$ 均为 $c$-竞争。当 $c=5/3$ 时,该策略至多使用 $4m$ 次作业迁移;当 $c=1.75$ 时,至多使用 $2.5m$ 次迁移。