环上序与赋值的树形结构

设 $R$ 为一个未必交换且含 $1$ 的环。本文首先引入拟序的概念，该概念在公理上囊括了 $R$ 上所有的序与赋值。接着我们在 $R$ 上所有拟序的集合 $\mathcal{Q}(R)$ 上一致地定义一个加粗关系 $\leq$。我们的主要结果之一指出，对于 $\leq$ 的某个微小修正 $\leq'$，$(\mathcal{Q}(R),\leq')$ 是一棵有根树，即一个具有最大元且对任意元素都存在到该最大元的唯一链的偏序集。作为该定理的应用，我们得到 $(\mathcal{Q}(R),\leq')$ 是一个谱集，即与某个含 $1$ 的交换环的谱序同构。本文最后将 $\mathcal{Q}(R)$ 作为拓扑空间加以研究。