关于素数生成筛法的理论

我们为一个通用框架奠定了基础，该框架用于对素数 $p$ 上的和 $\sum_p a_p$ 产生最优上界和下界，其中 $(a_n)_{x/2<n\le x}$ 是满足 I 型和 II 型估计的任意非负序列。我们对 $\sum_p a_p$ 的下界依赖于一种新的筛法，该筛法是非迭代的，并同时使用所有 I 型和 II 型信息。我们还给出了一个互补的通用程序，用于构造满足 I 型和 II 型估计的序列 $(a_n)$，这在许多情况下证明了我们对 $\sum_p a_p$ 的下界是最优的。$\mathbb{R}^k$ 中特殊子集的几何结构在筛法和构造方法中都扮演了关键角色。这使我们能够精确确定保证 $\sum_p a_p$ 具有渐近公式的 I 型和 II 型估计的范围，证明一个实质性的 II 型范围对于保证 $\sum_p a_p$ 的非平凡下界总是必要的，并确定文献中一些自然出现的参数族的最优界。我们还证明了 $\sum_p a_p$ 的最优上界和下界在 I 型和 II 型范围上表现出许多不连续性，从而排除了存在一个特别简单的特征描述的可能性。