关于 Lucas 着色理论

本文引入与平面图 $g$ 关联的“Lucas-Coloring”概念。当 $g$ 为 $4$-正则图时，Lucas-Coloring 的计数具有有趣的解释。具体而言，它为投影等于 $g$ 的任意链图示 $D$ 所对应的 Khovanov-Lee 复合体提供了一个数值不变量。该复合体位于 Bar-Natan 形式化曲胚范畴 $Cob^{3}_{/l}$ 的 Karoubi 包络中。$Cob^{3}_{/l}$ 的 Karoubi 包络由 Bar-Natan 和 Morrison 引入，以提供 Lee 定理的一个概念性证明。作为“Lucas-Coloring”的应用，我们首先展示交错符号矩阵可作为 Lucas-Coloring 的一种特殊情形被检索。随后，我们展示某种统计量对 Lucas-Coloring 的计数可枚举由 $g$ 上正式定义的图的完美匹配。该构构让我们能够推导一个求和公式，用于表达由正六边形区域通过切除其交错角落的“最大梯形”后所形成的劳齿砖块图案的 Lucas-Coloring 计数，以 2 的幂为基数。这个公式使人联想到 Elkies、Kuperberg、Larsen 和 Propp 所著名的 Aztec Diamond 定理，该定理涉及 Aztec Diamond 砖块的瓷砖排列。