近似恒等矩阵的低秩矩阵结构

考虑一个秩为 $n$ 的矩阵 $A$，其元素与 $N\times N$ 恒等矩阵的元素级误差最多为 $1/3$。我们给出阈值处 $|A_{i,j}|>\gamma$ 的元素个数的下界。得到两个推论：1. 如果 $n \le K\log N$（其中 $K$ 为某个常数），则至少有 $c(K)N^2$ 个元素满足 $|A_{i,j}|>c(K)n^{-1/2}$。这解答了B.S. Kashin的一个问题。2. 矩阵 $A$ 中非零元素的个数至少为 $c\log(N)/(n\log(2+n/\log N))$。