关于乘性希尔伯特矩阵的谱

我们研究乘性希尔伯特矩阵，即对于 $m,n\geq2$ 其元素为 $(\sqrt{mn}\log(mn))^{-1}$ 的无穷矩阵。该矩阵最近在狄利克雷级数理论背景下被引入，并已证明乘性希尔伯特矩阵无特征值且其连续谱与 $[0,\pi]$ 重合。在此我们证明乘性希尔伯特矩阵无奇异连续谱，且其绝对连续谱的重数为一。我们的论证依赖于谱扰动理论和散射理论的工具。寻找乘性希尔伯特矩阵的显式对角化仍是一个有趣的开放问题。