关于薛定谔型算子的谱估计：小局部维数情形

在相当一般的设定下，薛定谔算子 $-\D - V$ 的离散谱行为在很大程度上由相应热核 $P(t;x,y)$ 在 $t\to 0$ 和 $t\to\infty$ 时的行为决定。若该行为呈幂律形式，即 $$\|P(t;\cdot,\cdot)\|_{L^\infty}=O(t^{-\delta/2}),\ t\to 0;\qquad \|P(t;\cdot,\cdot)\|_{L^\infty}=O(t^{-D/2}),\ t\to\infty,$$ 则自然将指数 $\delta,D$ 分别称为“局部维数”和“无穷远维数”。谱估计的特征取决于这两个维数之间的关系。本文分析了此前研究尚不充分的 $\delta<D$ 情形。我们的应用涉及组合图与度量图。