关于排列表的符号不平衡

排列表由Steingrímsson和Williams引入。Corteel和Kim根据非限制列的数量定义了排列表的正负号。长度为 $n$ 的排列表的符号不平衡是长度为 $n$ 的所有排列表的正负号之和。他们利用生成函数得到了长度为 $n$ 的排列表符号不平衡的公式，并寻求组合证明。此外，他们提出了为Lam和Williams引入的B型排列表寻找符号不平衡公式的问题。我们在排列上定义一个统计量 $\nwnm$，并证明长度为 $n$ 的排列表上的非限制列数与长度为 $n$ 的排列上的 $\nwnm$ 同等分布。这给出了Corteel和Kim公式的组合解释。对于B型排列表，我们根据特定行和列的数量定义B型排列表的正负号。另一方面，我们构造了长度为 $n$ 的B型排列表与长度为 $2n$ 的对称排列之间的双射，并证明长度为 $2n$ 的对称排列上的统计量 $\nwnm$ 与长度为 $n$ 的B型排列表上的特定行和列数同等分布。基于该对应以及长度为 $2n$ 的对称排列上的一个对合，我们得到了B型排列表的符号不平衡公式。