关于全端可靠性多项式的根

给定一个图 $G$，其中每条边以概率 $q\in[0,1]$ 独立失效，$G$ 的全端可靠性是 $G$ 的所有顶点能够相互通信的概率，即可用边生成该图的概率。全端可靠性是 $q$ 的一个多项式，Brown 和 Colbourn 曾猜想其根（全端可靠性根）的模最多为 $1$。Royle 和 Sokal 证明该猜想是错误的，他们找到了模略大于 $1$ 的根。在此，我们根据图的顶点数给出了任意全端可靠性根模的第一个非平凡上界。我们还找到了比以往已知的模更大的全端可靠性根。最后，我们考虑简单图的全端可靠性根；我们给出了已知最小的具有模大于 $1$ 的全端可靠性根的简单图，并找到了边连通性比以往已知例子更高的具有模大于 $1$ 的全端可靠性根的简单图。