有限域上 Hankel 矩阵的秩

给定三个非负整数 $p,q,r$ 和一个有限域 $F$，有多少个定义在 $F$ 上的 Hankel 矩阵 $\left( x_{i+j}\right) _{0\leq i\leq p,\ 0\leq j\leq q}$ 的秩 $\leq r$？这是一个经典问题，其答案（当 $r\leq\min\left\{ p,q\right\}$ 时为 $q^{2r}$）已由不同学者利用不同工具独立得到（Daykin、Elkies、Garcia Armas、Ghorpade 和 Ram）。在本文中，我们研究这一结果的精细化：我们证明，若对某个 $k\leq r\leq\min\left\{ p,q\right\}$ 固定前 $k$ 个元 $x_{0},x_{1},\ldots,x_{k-1}$，则选取剩余 $p+q-k+1$ 个元 $x_{k},x_{k+1},\ldots,x_{p+q}$ 使得所得 Hankel 矩阵 $\left( x_{i+j}\right) _{0\leq i\leq p,\ 0\leq j\leq q}$ 的秩 $\leq r$ 的方式数为 $q^{2r-k}$。这正是若前 $k$ 个元对秩无影响时所预期的结果，但情况当然并非如此简单。该精细化结果推广了（并给出了另一证明）Anzis、Chen、Gao、Kim、Li 和 Patrias 关于有限域上 Jacobi-Trudi 行列式求值的一个结果。