关于 $A$-超几何 $D$-模的秩与 $A$ 的规范化体积之比较

与满秩 $(d\times n)$ 矩阵 $A$ 和参数向量 $\beta\in \mathbb{C}^d$ 相关联的 $A$-超几何 $D$-模 $M_A(\beta)$ 的秩,当 $\beta$ 位于例外排列 $\mathcal{E}(A)$(一个余维数至少为二的仿射子空间排列)之外时,已知等于 $A$ 的规范化体积,记为 $\mathrm{vol}(A)$。若 $\beta\in \mathcal{E}(A)$ 为简单的,我们证明对任意 $d\geq 3$,$d-1$ 是比值 $\mathrm{rank}(M_A(\beta))/\mathrm{vol}(A)$ 的一个紧上界。我们还证明使该比值至少为 $2$ 的参数 $\beta$ 的集合是一个余维数至少为 $3$ 的仿射子空间排列。