基于质心 Voronoi 剖分的 Blaschke-Santaló 图数值逼近

识别 Blaschke-Santaló 图是一个重要课题，其本质在于确定映射 $F:X\to{\mathbb{R}}^d$ 的像 $Y=F(X)$，其中源空间 $X$ 的维数远大于目标空间的维数。在某些情形中（例如形状优化问题中出现的情形），$X$ 甚至可以是无限维空间的子集。通常的蒙特卡洛方法是在 $X$ 中随机选取 $N$ 个点 $x_1,\dots,x_N$ 并将其绘于目标空间 ${\mathbb{R}}^d$ 中，这在许多情况下会在 $Y$ 中产生浓度极高和极低的区域，导致对像集的数值识别相当粗糙。相反，我们的目标是以适当方式选取点 $x_i$，使其在目标空间中产生均匀分布。通过这种方式，我们可以用相对较少的样本数 $N$ 获得像集 $Y$ 的良好表示，这在源空间 $X$ 维数很大（甚至无限）且 $F(x_i)$ 的求值代价高昂时非常有用。我们的方法在于恰当使用{\it 质心 Voronoi 剖分}（Centroidal Voronoi Tessellations），其提供了高效的数值结果。文中展示了二维与三维算例的模拟。