随机置换核问题实例的解的数量

置换核问题(PKP)是线性代数中的一个问题，由Shamir于1989年首次提出。粗略地说，给定一个有限域$\mathbb{F}_q$上的$\ell \times m$矩阵$\mathbf{A}$和一个$m \times 1$向量$\mathbf{b}$，PKP要求找到一个$m \times m$置换矩阵$\mathbf{\pi}$，使得$\mathbf{\pi} \mathbf{b}$属于$\mathbf{A}$的核。近年来，已提出若干后量子数字签名方案，其安全性可被证明归约到求解PKP随机实例的困难性。因此，了解PKP随机实例的期望解的数量（以参数$q,\ell,m$表示）非常重要。先前的工作通过启发式方法估计期望解的数量为$m! / q^\ell$。我们提供并严格证明了PKP及相关非齐次置换核问题(IPKP)随机实例的期望解数量的精确公式，并考虑了两种生成随机实例的自然方式。