论 Mal'tsev 范畴的自然性

Mal'tsev 范畴已成为范畴代数中的核心概念。一方面，该概念的简洁与优美通过大量不同风格的刻画得以显现。依据语境，可将 Mal'tsev 范畴定义为：“任意自反关系均为等价关系”；“任意关系均为双函数关系”；“同一对象上等价关系的复合可交换”；“点纤维化中的每个纤维是幺半的”；或“从内群胚到自反图函子的遗忘函子在子对象上饱和”。对于泛代数簇，这些也等价于其代数理论中存在 Mal'tsev 运算，即满足公理 $p(x,x,y)=y$ 与 $p(x,y,y)=x$ 的三元运算 $p(x,y,z)$。另一方面，Mal'tsev 范畴已被证明是发展等价关系中心性理论、扩张的贝尔和以及某些同调引理（如非正规化 $3 \times 3$ 引理）的恰当语境，其在正则范畴中的成立性等价于较弱的“Goursat 性质”，后者亦被证明具有广泛意义。