随机集合划分中块大小的最大重数

我们研究[n]={1,2,...,n}的集合划分中各块的最大重数$M_n=M_n(\sigma)$的渐近行为，假设$\sigma$从所有此类划分的集合中均匀随机选取。令$W=W(n)$为方程$We^W=n$的唯一正根，并令$f_n$为$W(n)$的小数部分。进一步，令$R_n=W^{\lfloor W\rfloor}/\lfloor W\rfloor !$且$\vartheta_n=\min{\{f_n,1-f_n\}}$。我们证明，在子列$\{n_k\}_{k\ge 1}$上，$(M_{n_k}-R_{n_k})/\sqrt{R_{n_k}}$当$k\to\infty$时弱收敛于$\max{\{Z_1,Z_2-u\}}$，其中$Z_1$与$Z_2$为标准正态随机变量的两个独立拷贝，且要么$u=\left(\frac{1}{2\pi}\right)^{1/4}\lim_{k\to\infty}\vartheta_{n_k}\frac{\sqrt{n_k}}{\log^{7/4}{n_k}}\in [0,\infty)$，要么$u=\infty$。证明使用了鞍点法。并给出了与$n$的随机整数划分上类似统计量的比较。