关于局部域上除代数的 K 理论

设 $K$ 为具有特征 $p$ 的有限剩余类域的完备离散赋值域，并设 $D$ 为 $K$ 上指数为 $d$ 的中央除代数。三十年前，Suslin 与 Yufryakov 证明：对所有异于 $p$ 的素数 $\ell$ 与整数 $j \geq 1$，存在 $\ell$-进 $K$-群的一个“约化范数”同构 $\operatorname{Nrd}_{D/K} \colon K_j(D,\mathbb{Z}_{\ell}) \to K_j(K,\mathbb{Z}_{\ell})$，使得 $d \cdot \operatorname{Nrd}_{D/K}$ 等于范数同态 $N_{D/K}$。本文旨在证明对 $p$-进 $K$-群的类似结果。为此，我们借助到拓扑循环同调的轮换迹映射，并证明存在分别对应于 $D$ 与 $K$ 的两个 $p$-完备循环谱之间的一个“约化迹”等价 $\operatorname{Trd}_{A/S} \colon \operatorname{THH}(A\,|\,D,\mathbb{Z}_p) \to \operatorname{THH}(S\,|\,K,\mathbb{Z}_p)$。有趣的是，我们表明若 $p$ 整除 $d$，则不可能选取上述等价使得作为循环谱的映射有 $d \cdot \operatorname{Trd}_{A/S}$ 与迹 $\operatorname{Tr}_{A/S}$ 一致，尽管作为具有 $\mathbb{T}$-作用的谱的映射这是可能的。