斯坦利序列计数函数的增长

给定一个不含三项等差数列的非负整数有限集 $A$，由 $A$ 生成的斯坦利序列 $S(A)$ 是一个无限集，其构造方式为：从 $A$ 开始，然后贪婪地包含严格更大的整数，且这些整数不会在 $S(A)$ 中引入三项等差数列。Erdos 等人曾问：斯坦利序列 $S(A)$ 的计数函数 $S(A,x)$ 是否对所有 $\epsilon>0$ 和 $x>x_0(\epsilon,A)$ 满足 $S(A,x)>x^{1/2-\epsilon}$？本文对此问题给出肯定回答；事实上，我们证明了稍强一点的结果：对 $x\geq x_0(\epsilon,A)$，有 $S(A,x)\geq (\sqrt{2}-\epsilon)\sqrt{x}$。