关于指数随机图的几何性质及其应用

在 2009 年的一篇开创性论文中，Borcea、Brändén 和 Liggett 描述了概率分布与其生成多项式几何性质之间的联系。即，他们证明了稳定的生成多项式对应于具有最强形式负相依性的分布。这促使我们研究可能具有此性质的其他分布，而我们的重点在于随机图模型。在本文中，我们将为从这一几何视角研究马尔可夫随机图，以及更一般的指数随机图模型奠定基础。具体而言，通过确定它们对应的生成多项式何时是稳定的和/或洛伦兹的。洛伦兹性质最早由 Brändén 和 Huh 于 2020 年描述，并由 Anari、Oveis-Gharan 和 Vinzant 独立描述，后者将其称为完全对数凹性质。稳定多项式的理论早于此，通常被认为是实根性的多元概念。Brändén 和 Huh 证明了稳定多项式总是洛伦兹的。尽管这是一个强条件，但验证稳定性并不总是可行的。我们将刻画某些类别的马尔可夫随机图何时是稳定的，以及何时仅是洛伦兹的。随后，我们将注意力转向这些性质在现实世界网络中的应用。