关于单次读取行列式表达能力的探讨

我们引入并研究了行列式的 read-$k$ 投影的概念：如果 $f=det(M)$，其中矩阵 $M$ 的元素为域元素或变量，且每个变量在 $M$ 中最多出现 $k$ 次，则称多项式 $f \in \mathbb{F}[x_1, \ldots, x_n]$ 为行列式的 read-$k$ 投影。如果存在一个行列式的 read-$k$ 投影 $f$ 使得 $f$ 的单项式集合等于 $S$，则称单项式集合 $S$ 可表示为行列式的 read-$k$ 投影。我们获得了将 read-$k$ 行列式投影与被广泛研究的行列式复杂性概念相关联的基本结果。我们证明，对于足够大的 $n$，$n \times n$ 积多项式 $Perm_n$ 以及 $n$ 个变量上次数为 $d$ 的初等对称多项式 $S_n^d$（其中 $2 \leq d \leq n-2$）不能表示为行列式的单次读取投影，而 $mon(Perm_n)$ 和 $mon(S_n^d)$ 可以表示为行列式的单次读取投影。我们还给出了不能表示为行列式单次读取投影的单项式集合的例子。