关于非卷积形式的 $t_r$-范数与 $t_r$-余范数的存在性

本文在从 ${[0, 1]}$ 到 ${[0, 1]}$ 的所有正态凸函数构成的集合上构造了一个 $t_{r}$-范数和一个 $t_{r}$-余范数，它们不是通过对二元运算 ${\curlywedge}$ 和 ${\curlyvee}$ 应用以下两个公式得到的：$${(f\curlywedge g)(x)=\sup\left\{f(y)\ast g(z)\mid y\vartriangle z=x\right\},}$$ $${(f\curlyvee g)(x)=\sup\left\{f(y)\ast g(z)\mid y\ \triangledown\ z=x\right\},}$$ 其中 ${f, g\in Map([0, 1], [0, 1])}$，${\vartriangle}$ 和 ${\triangledown}$ 分别是 ${[0, 1]}$ 上的 ${t}$-范数和 ${t}$-余范数，${\ast}$ 是 ${[0, 1]}$ 上的二元运算。{\color{blue}该结果对 \cite{HCT2015} 中提出的一个开放问题给出了肯定回答。此外，通过引入与 ${Map([0, 1], [0, 1])}$ 上二元运算对偶的运算，得到了 $t_r$-范数与 $t_r$-余范数之间的对偶性。}