关于线性映射下不变非退化双线性型的存在性

设 $\V$ 是域 $\F$ 上的向量空间。假设 $\F$ 的特征 \emph{大}，即 $char(\F)>\dim \V$。设 $T: \V \to \V$ 是可逆线性映射。本文回答以下问题：$\V$ 何时允许一个 $T$-不变的非退化对称（或斜对称）双线性型？我们还回答了该问题的无穷小版本。遵循 Feit-Zuckerman \cite{fz}，群 $G$ 中的元素 $g$ 如果与它的逆在 $G$ 中共轭，则称为实元素。因此，刻画 $\G(\V, \F)$ 中的实元素很重要。作为上述问题答案的一个推论，我们给出了 $\G(V, \F)$ 中实元素的一个刻画。假设 $\V$ 配备了一个非退化对称（或斜对称）双线性型 $B$。设 $S$ 是等距群 $I(\V, B)$ 中的一个元素。$(\V, B)$ 的一个非退化 $S$-不变子空间 $\W$ 称为关于 $S$ 正交不可分解的，如果它不能写成真 $S$-不变子空间的正交和。我们对正交不可分解子空间进行了分类。该问题对于 $I(\V, B)$ 中的幂幺元素是非平凡的。幂幺元素 $T$ 的级是使得 $(T-I)^k=0$ 的最小整数 $k$。我们还对 $I(\V, B)$ 中幂幺元素的级进行了分类。