树索引渗流模型中可达性的存在性

我们研究了无限树上的可达性渗流模型。该模型定义为将绝对连续随机变量 $X_v$ 关联到树的每个顶点 $v$。主要考虑的问题是：是否存在一条贯穿整个图的无限最近邻路径 $v_1,v_2,v_3\ldots$，使得 $X_{v_1}<X_{v_2}<X_{v_3}<\cdots$。由这种路径的存在所定义的事件称为{\it{渗流}}。我们考虑球对称树上的可达性渗流模型情形，其增长函数由 $f(i)=\lceil (i+1)^ \alpha \rceil$ 给出，其中 $\alpha>0$ 为给定常数。我们证明了在 $\alpha_c =1$ 处存在一个渗流阈值：当 $\alpha> 1$ 时存在渗流，而当 $\alpha \leq 1$ 时不存在渗流。此外，我们研究了从任意顶点开始的渗流事件，以及渗流概率函数的连续性。最后，我们将该模型与著名的 $F^{\alpha}$ 记录模型进行了比较。我们还讨论了一些关于可达性渗流模型的开放性问题，以供未来研究进一步考虑。