有限圆柱格林图中连通集的枚举

图中连通集是指诱导出连通子图的非空顶点集合。在无限格林中，连通集常称为格林动物，其在等价类下的枚举是组合数学和统计物理学中的一个古典问题。本文聚焦于有限格林图中连通集的枚举，提供了组合计数与系统结构连通性之间的联系。对于任意正整数 $m,n$，记 $N(P_m\times P_n)$ 和 $N(C_m\times P_n)$ 分别为 $(m\times n)$ 格林图 $P_m\times P_n$ 和 $(m\times n)$ 圆柱格林图 $C_m\times P_n$ 中所有连通集的个数。2020 年，Vince 推导了 $N(P_m\times P_2)$ 和 $N(C_m\times P_2)$ 的枚举公式，并指出将这些计算结果推广至更大的（圆柱）格林图的难度日益增加。最近，作者们发展了一种基于多步骤递推公式的方法，得到了 $N(P_m\times P_n)$（其中 $m\leq 4$）的枚举公式。本文采用类似方法，推导了 $N(C_m\times P_n)$（其中 $m\leq 7$）的枚举公式。进一步地，对于一般情况，我们通过在连通集的子类上应用传递矩阵方法，在任意连通图 $G$ 的笛卡尔积图 $G\times P_n$ 中建立了连通集数量的显式紧下界。基于此，我们对几种格林图进行渐近分析，显示 $O(N(P_3\times P_n))=1.6694^{3n}$，$O(N(C_4\times P_n))=1.8014^{4n}$，$O(N(C_5\times P_n))=1.7877^{5n}$。