关于乘积PCA在排序鲁棒性上无效率损失的探讨

本文研究特征值排序的鲁棒性，这是利用主成分分析（PCA）估计前导特征子空间时的一个重要问题。Yata和Aoshima（2010）提出交叉数据矩阵PCA（CDM-PCA），并证明其在估计特征值时的偏倚小于PCA。尽管CDM-PCA有潜力比常规PCA更好地估计前导特征子空间，其鲁棒性并未得到充分认知。本文中，我们首先发展了CDM-PCA的一个更稳定变体，称之为乘积PCA（PPCA），其提供了更便于理论研究的表述。其次，我们证明在存在离群点时，PPCA在维持前导特征值正确排序上比PCA更鲁棒。PPCA的鲁棒性增益来自随机数据划分，且不依赖于多数鲁棒统计方法所采用的数据降权方案。这使我们得以确立一个令人惊讶的发现：当无离群点时，PPCA与PCA具有相同的渐近分布。亦即，PPCA在估计前导特征子空间上的鲁棒性增益相较于PCA并无效率损失。文中给出模拟研究及一个人脸数据示例以展示PPCA的优势。总之，无论是否存在离群点，PPCA均有良好潜力取代常规PCA在实际应用中的作用。