有限素域上 m-序列的 2-进展开导出的二元序列的相异性

设 $p$ 为奇素数，其 2-进展开为 $\sum_{i=0}^kp_i\cdot2^i$。对于 $\mathbb{F}_{p}$ 上的序列 $\underline{a}=(a(t))_{t\ge 0}$，每个 $a(t)$ 属于 $\{0,1,\ldots, p-1\}$ 且具有唯一的 2-进展开 $$a(t)=a_0(t)+a_1(t)\cdot 2+\cdots+a_{k}(t)\cdot2^k,$$ 其中 $a_i(t)\in\{0, 1\}$。记 $\underline{a_i}$ 为二元序列 $(a_i(t))_{t\ge 0}$，其中 $0\le i\le k$。假设 $i_0$ 是使得 $p_{i}=0$ 的最小下标 $i$，且 $\underline{a}$ 和 $\underline{b}$ 是由 $\mathbb{F}_p$ 上同一本原特征多项式生成的两个不同的 m-序列。我们证明：对于 $i\neq i_0$ 且 $0\le i\le k$，$\underline{a_i}=\underline{b_i}$ 当且仅当 $\underline{a}=\underline{b}$；而对于 $i=i_0$，$\underline{a_{i_0}}=\underline{b_{i_0}}$ 当且仅当 $\underline{a}=\underline{b}$ 或 $\underline{a}=-\underline{b}$。此外，若 $i\ne i_0$，则 $\underline{a_i}$ 的周期等于 $\underline{a}$ 的周期；若 $i=i_0$，则为其周期的一半。我们还讨论了二元序列 $\underline{a_i}$ 的可能应用。