由子集和确定多重集的问题

设 $A$ 为元素取自阿贝尔群的一个多重集。令 $FS(A)$ 为包含 $A$ 的所有子集的 $2^{|A|}$ 个和的多重集。我们研究重构问题“给定 $FS(A)$，能否识别 $A$？”，并对所有阿贝尔群给出令人满意的答案。我们证明，在通过自然等价关系识别多重集的意义下，映射 $A \mapsto FS(A)$ 是单射的（从而重构问题可解）当且仅当阿贝尔群中扭元素的每个阶 $n$ 满足与乘法群 $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^*$ 相关的某一数论性质。证明的核心依赖于对分圆单位结构的精细研究。此外，作为工具，我们发展了一种有限阿贝尔群上新型离散 Radon 变换的反演公式，该公式可能具有独立意义。