暗物质作为$f(\mathcal{R})$引力中的几何效应

由于观测到的绕星系中心运动的粒子的旋转速度曲线与预期的不匹配，人们假定存在一种神秘物质。修正引力中也有许多解释这一差异的提议。与此相反，2008年，B$\ddot{\text{o}}$hmer等人在(Astropart Phys 29(6):386-392, 2008)提出了一个有趣的想法，他们表明$f(\mathcal{R})$引力模型实际上可以将暗物质解释为纯几何效应。他们使用通用$f(\mathcal{R})$引力模型在真空中求解引力场方程，针对匀速区域，发现爱因斯坦-希尔伯特拉格朗日量的修正形式为$\mathcal{R}^{1+m}$，其中$m=V_{tg}^2/c^2$；$V_{tg}$为绕星系暗物质区域运动的测试粒子的切向速度，$c$为光速。由观测可知$m\approx\mathcal{O}(10^{-6})$。在本文中，我们做了两件事：(1) 我们证明他们声称的$f(\mathcal{R})$形式不正确。在计算中，我们发现当匀速区域的度规径向分量为常数时，得到的$f(\mathcal{R})$精确解形式为$\mathcal{R}^{1-\alpha}$，这对应于负修正而非正修正，$\alpha$是$m$的函数。(2) 我们还证明，如果描述暗物质区域的度规径向系数不是常数，则对于所有切向速度值（包括观测到的切向速度$200-300$ km/s）我们无法得到$f(\mathcal{R})$的解析解。因此，我们必须依赖数值解来获得$f(\mathcal{R})$引力中暗物质的近似模型。