非线性最优控制中重叠 Schwarz 分解的收敛性研究

我们研究了一种用于求解非线性最优控制问题（OCPs）的重叠 Schwarz 分解算法的收敛性质。该算法将时域分解为一组重叠子域，并并行求解定义在子域上的所有子问题。通过在重叠子域边界更新原始-对偶信息来实现收敛。我们证明了该算法具有局部线性收敛性，且收敛速率随重叠尺寸呈指数提升。我们还建立了通用二次规划的全局收敛结果，这使得 Schwarz 格式可应用于二阶优化算法（例如序列二次规划）内部。我们收敛分析的理论基础是非线性 OCPs 的一个敏感性结果，我们称之为“敏感性的指数衰减”（EDS）。直观而言，EDS 表明域边界（即初始与终止时刻）处的扰动对解的影响，随着向域内部深入而呈指数衰减。在此，我们拓展了文献中已有的分析，证明了在一致二阶充分条件、能控性条件与有界性条件下，EDS 对非线性 OCPs 的原始与对偶解均成立。我们通过四旋翼运动规划问题与 PDE 控制问题进行了实验以验证理论，并表明该方法比 ADMM 显著更高效，且与集中式求解器 Ipopt 同样高效。