关于矩阵-矩阵幂运算的条件数

若 ${A}$ 在闭负实轴上无特征值，且 $B$ 为任意复方阵，则矩阵-矩阵幂运算定义为 $A^B:=e^{\log({A}){B}}$。该函数出现在例如 Von Newmann 的量子力学熵中，并进而在科学与工程的其他领域得到应用。由于一般地 $A$ 与 $B$ 不对易，这一二元矩阵函数可能并非通常定义的主矩阵函数，从而引出诸多挑战性问题。本文中，我们重新审视该函数并推导新的相关结果。特别着重于其 Fr\'echet 导数与条件数。我们给出了关于二元矩阵函数 Fr\'echet 导数的一般性结果，其应用不仅及于矩阵-矩阵幂运算，也及于其他函数，例如二阶 Fr\'echet 导数以及矩阵迭代方法中出现的某些迭代函数。文中讨论了 Fr\'echet 导数的数值计算，并提出了一种计算 $A^B$ 相对条件数的算法。包含了若干数值实验。