关于秩伴随式解码问题的复杂度

本文提出了两种针对秩伴随式解码 (RSD) 问题的新通用攻击。设 $C$ 为 $GF(q^m)$ 上的随机 $[n,k]$ 秩码，设 $y=x+e$ 为接收到的码字，其中 $x \in C$ 且 $Rank(e)=r$。第一种攻击是组合式的，能够在 $GF(q)$ 上进行 $min(O((n-k)^3m^3q^{r\lfloor\frac{km}{n}\rfloor}, O((n-k)^3m^3q^{(r-1)\lfloor\frac{(k+1)m}{n}\rfloor}))$ 次运算后恢复秩权重为 $r$ 的错误 $e$。该攻击通过在复杂度的指数中引入码长 $n$（此前的通用攻击未做到这一点），显著改进了先前的攻击。第二种攻击基于代数攻击：基于 Ore 引入的 $q$-多项式理论，我们为 RSD 问题提出了一种新的代数设定，允许在扩域 $GF(q^m)$ 而非通常的 $GF(q)$ 中考虑方程和未知量。我们考虑了在此新设定下解决该问题的两种方法。线性化技术表明，若 $n \ge (k+1)(r+1)-1$，则 RSD 问题可在多项式时间内解决；更一般地，我们证明若 $\lceil \frac{(r+1)(k+1)-(n+1)}{r} \rceil \le k$，则该问题可被解决，其平均复杂度为 $O(r^3k^3q^{r\lceil \frac{(r+1)(k+1)-(n+1)}{r} \rceil})$。我们还考虑了使用 \grob 基进行求解，并讨论了其理论复杂度；此外，针对实际参数，我们也探讨了结合 \grob 基的混合求解方法。作为应用实例，我们将新攻击应用于所有近期提出的修复 GPT 密码系统的方案，成功破解了所有已发布的参数实例，某些情况下部分参数的破解时间少于 1 秒。