基于 Groebner 基的 Reed–Solomon 码伴式快速 Chase 译码方法

我们给出一种简单的基于伴式的 Reed–Solomon（RS）码快速 Chase 译码算法。此类算法最初由 Wu（IEEE Trans. IT, 2012 年 1 月）基于 Berlekamp–Massey（BM）算法的性质提出。Wu 设计了一种快速多项式更新算法，将错误定位多项式（ELP）构造为某一线性反馈移位寄存器（LFSR）综合问题的解。这导致一个概念上复杂的算法，分为 $8$ 个微妙不同的情形。此外，Wu 的多项式更新算法并不立即可用于处理求值向量。因此，为获得真正的“一遍式”Chase 译码算法（即每个修正坐标需 $O(n)$ 次运算的 Chase 译码算法，其中 $n$ 为 RS 码长），需要复杂修改。本文的主要结果是概念上简单的基于伴式的 RS 码快速 Chase 译码。我们不从头发展理论，而是使用 $\mathbb{F}_q[X]$ 上模的成熟 Groebner 基理论（其中 $\mathbb{F}_q$ 为 $q$ 个元素的有限域，$q$ 为素数幂）。基本观察是，相较于 Wu 的 LFSR 综合问题，考虑模上的“正确”最小化问题要简单得多。该最小化问题的解是一种简单的多项式更新算法，避免伴式更新并可无缝处理求值向量。由此，我们获得一种概念简单的 RS 码一遍式 Chase 译码算法。我们的算法具有足够一般性，可与任何求解关键方程解模 Groebner 基的算法作为初始算法（包括欧几里得算法）配合使用，而不只局限于 BM 算法。