关于增量 PageRank 蒙特卡洛方法的复杂度

本注记扩展了 [B. Bahmani, A. Chowdhury, and A. Goel. Fast Incremental and Personalized PageRank. VLDB 2011] 中对增量 PageRank 的分析。在该工作中，作者证明了当算法为每个节点存储 $R$ 条随机游走且 PageRank teleport 概率为 $\epsilon$ 时，在具有 $n$ 个节点的图中保持 $m$ 条边到达的 PageRank 更新的运行时间为 $O(\frac{nR}{\epsilon^2} \ln(m))$。为了证明这一运行时间，他们假设边以随机顺序到达，并将把其运行时间保证扩展到对抗性边到达留作未来工作。在本注记中，我们通过展示一个图和对抗性边到达顺序（其中运行时间为 $\Omega \left(R n m^{\lg{\frac{3}{2}(1-\epsilon)}}\right)$），证明了随机边顺序假设的必要性。更一般地，对于任意整数 $d \geq 2$，我们构造了一个图和对抗性边顺序，其中运行时间为 $\Omega \left(R n m^{\log_d(H_d (1-\epsilon))}\right)$，这里 $H_d$ 是第 $d$ 个调和数。