自反多部竞赛图的最小成本同态问题复杂度

对于有向图 $D$ 和 $H$，若映射 $f: V(D)\dom V(H)$ 满足 $uv\in A(D)$ 蕴含 $f(u)f(v)\in A(H)$，则称 $f$ 为 $D$ 到 $H$ 的同态。对于固定的有向图 $H$，同态问题旨在判定输入有向图 $D$ 是否存在到 $H$ 的同态，记为 HOMP($H$)。允许有向图含有环，但不允许含有平行弧。同态问题的一个自然优化版本定义如下：若每个顶点 $u \in V(D)$ 关联有成本 $c_i(u), i \in V(H)$，则同态 $f$ 的成本为 $\sum_{u\in V(D)}c_{f(u)}(u)$。对于每个固定的有向图 $H$，我们定义针对 $H$ 的{\em 最小成本同态问题}，记为 MinHOMP($H$)。该问题旨在判定：对于带有成本 $c_i(u)$（其中 $u \in V(D), i\in V(H)$）的输入图 $D$，是否存在 $D$ 到 $H$ 的同态；若存在，则找出一个成本最小的同态。在近期的一篇论文中，我们提出了刻画含可能环的非循环多部竞赛图（w.p.l.）的最小成本同态问题中多项式时间可解情形与 NP-难情形的特征这一问题。本文解决了自反多部竞赛图的该问题，并以含可能环的 4 阶非循环 3-部竞赛图为例，展示了整个问题类（含可能环的多部竞赛图）的显著难度。