有向自反图的最低成本同态

对于有向图 $G$ 和 $H$，从 $G$ 到 $H$ 的同态是一个映射 $f:\ V(G)\dom V(H)$，使得若 $uv\in A(G)$，则 $f(u)f(v)\in A(H)$。此外，如果每个顶点 $u \in V(G)$ 都关联有成本 $c_i(u), i \in V(H)$，那么同态 $f$ 的成本为 $\sum_{u\in V(G)}c_{f(u)}(u)$。对于每个固定的有向图 $H$，针对 $H$ 的{\em 最低成本同态问题}（记为 MinHOM($H$)）定义如下：给定一个输入有向图 $G$，以及成本 $c_i(u)$（其中 $u\in V(G)$，$i\in V(H)$）和一个整数 $k$，判定 $G$ 是否存在一个成本不超过 $k$ 的到 $H$ 的同态。我们关注针对{\em 自反}有向图 $H$（即 $H$ 的每个顶点都有自环）的最低成本同态问题。已知如果 $H$ 具有{\em Min-Max 序}（即其顶点可以被线性排序 $<$，使得当 $i<j, s<r$ 且 $ir, js \in A(H)$ 时，蕴含 $is \in A(H)$ 和 $jr \in A(H)$），则 MinHOM($H$) 问题是多项式时间可解的。我们给出了具有 Min-Max 序的自反有向图的禁止导出子图刻画；该刻画意味着存在一种多项式时间的测试方法来判定 Min-Max 序的存在性。利用这一刻画，我们证明了对于不具有 Min-Max 序的自反有向图 $H$，其最低成本同态问题是 NP-完全的。因此，我们获得了自反有向图最低成本同态问题复杂性的完整二分分类。