关于曲线图有限子图的复杂度

当一个图是亏格为 $g$ 且有 $p$ 个穿孔的曲面的曲线图的导出子图时，我们称该图具有性质 $\mathcal{P}_{g,p}$。两个著名的图不变量——色数和团数——可以构成对 $\mathcal{P}_{g,p}$ 的阻碍。我们引入了一个新的图不变量——“嵌套复杂度长度”，它对 $\mathcal{P}_{g,p}$ 提供了一种新的阻碍。对于曲线图，该不变量以图论术语捕捉了曲面的拓扑复杂度；事实上，我们证明其值为 $6g-6+2p$，即曲面上极大多曲线尺寸的两倍。作为推论，我们证明大半图不具备 $\mathcal{P}_{g,p}$，并定量推导出几乎所有通过色数和团数测试的有限图都不具备 $\mathcal{P}_{g,p}$。我们还在曲线图的一阶理论框架下，以及在映射类群的 RAAG 子群框架下（遵循 Kim 和 Koberda 的工作）重新解释了我们的阻碍。最后，我们证明大多部子图不能具备 $\mathcal{P}_{g,p}$。这使我们能够计算曲线图的上密度，并得出结论：团大小、色数和嵌套复杂度长度不足以确定 $\mathcal{P}_{g,p}$。