论区域复形的粗几何

区域复形 $D(S)$ 是一个具有非常丰富单纯结构的几何工具，它包含曲线复形 $C(S)$ 作为单纯子复形。本文将 $D(S)$ 视为一个度量空间，赋予其使每个单形成为边长为 1 的欧几里得单形的度量，并讨论其粗几何性质。我们证明，对于 $D(S)$ 的每一个包含曲线复形 $C(S)$ 的子复形 $\Delta(S)$，自然的单纯包含映射 $C(S) \to \Delta(S)$ 既是等距嵌入又是拟等距映射。我们证明，除少数情况外，弧复形 $A(S)$ 拟等距于 $D(S)$ 中由作为外围裤子对分的顶点所张成的子复形 $P_\partial(S)$，并且我们证明单纯包含映射 $P_\partial(S) \to D(S)$ 是拟等距嵌入当且仅当 $S$ 的亏格为 0。然后我们将这些结果应用于弧与曲线复形 $AC(S)$。我们给出了 $AC(S)$ 拟等距于 $C(S)$ 这一事实的一个新证明，并讨论了单纯包含映射 $A(S) \to AC(S)$ 的度量性质。