向量线性安全聚合中个体密钥速率容量区域

我们提供了对近期Yuan-Sun在ISIT 2025提出的开放问题的新见解，涉及向量线性安全聚合问题中所需最低个体密钥速率。考虑一个分布式系统，其中每个用户 $k\in [K]$ 持有数据流 $W_k$ 和一个独立密钥 $Z_k$。服务器旨在计算线性函数 $\mathbf{F}[W_1;\ldots;W_K]$，而不透露关于另一个线性函数 $\mathbf{G}[W_1;\ldots;W_K]$ 的信息，其中 $[W_1;\ldots;W_K]$ 表示 $W_1,\ldots,W_K$ 的行堆叠。该问题是确定每个用户所需密钥长度 $R_k$ 的最小值。本文我们刻画了一个新的可达区域 $(R_1,\ldots,R_K)$。该区域是多面体，其顶点由二进制速率分配 $(R_1,\ldots,R_K) = (\mathbf{1}(1 \in \mathcal{I}),\ldots,\mathbf{1}(K\in \mathcal{I}))$ 给出，其中 $\mathcal{I}\subseteq [K]$ 满足“秩增量条件”：$\mathrm{rank}\left(\bigl[\mathbf{F}_{\mathcal{I}};\mathbf{G}_{\mathcal{I}}\bigr]\right) =\mathrm{rank}\bigl(\mathbf{F}_{\mathcal{I}}\bigr)+N$。此处 $\mathbf{F}_\mathcal{I}$ 和 $\mathbf{G}_\mathcal{I}$ 是由索引 $\mathcal{I}$ 组成的子矩阵。我们的结果揭示了新的事实：并非每个用户都必须持有密钥，从而严格扩大了文献中已知的最佳可达区域。此外，我们提供了逆谱分析，说明在最小化持有密钥的用户数时其最优性。