带有组密钥的层次安全聚合容量研究

我们研究了带有组密钥的层次安全聚合问题。该问题包含一个聚合服务器、$U$ 个中继器和 $UV$ 个用户，其中每个中继器服务于 $V$ 个互不相同的用户，且每组 $G$ 个用户共享一个独立的组密钥。施加了两个安全要求：中继安全和服务器安全。具体而言，每个中继器不能了解用户输入的任何信息，服务器不能了解除所有输入之和之外的任何额外信息。我们首先指出，当 $G = 1$ 时，该问题是不可行的。对于可行区间 $1 < G \le UV$，我们完全描述了最优速率区域。特别地，我们证明每个用户和每个中继器都必须以至少每输入一个符号的速率传输。此外，我们 characterize 所需的最小组密钥速率为 $\max\left\{\frac{V}{\binom{UV}{G} - \binom{(U-1)V}{G}},\; \frac{U - 1}{\binom{UV}{G} - U \binom{V}{G}}\right\}$，其中前两个术语分别对应由中继安全和服务器安全所施加的约束。对于可达性，我们提出了一个基于结构预编码矩阵的显式线性编码方案，证明它满足正确性和安全性要求。该构造通过利用足够通用的大字段矩阵设计，避免了基于置换的对称化。最后，我们建立了匹配的逆向证明，从而完全描述了最优速率区域。